---
route: /task/matura-sierpie-2021-33
title: Zadanie matura-sierpie-2021-33
source: Matura sierpień 2021
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-33

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) (zobacz rysunek) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|}=\frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{16}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie trójkątów podobnych.

Jedną z własności trapezów jest to, że przekątne trapezu dzielą go na trójkąty podobne \(ABS\) oraz \(CDS\). Gdybyśmy o tej własności nie pamiętali, to zawsze możemy do niej dość samodzielnie korzystając z własności kątów wierzchołkowych oraz naprzemianległych (udowodnimy wtedy, że wszystkie kąty trójkątów \(ABS\) oraz \(CDS\) mają jednakowe miary).

Z treści zadania wiemy też, że \(\frac{AS}{SC}=\frac{3}{2}\), czyli tym samym skala podobieństwa tych trójkątów jest równa właśnie \(k=\frac{3}{2}\). I tu aby się nie pomylić możemy przyjąć, że trójkąt \(DCS\) jest trójkątem podstawowym, a trójkąt \(ABS\) jest trójkątem podobnym i to właśnie boki tego trójkąta są \(\frac{3}{2}\) razy większe.

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni trójkąta \(CDS\).

Z własności trójkątów podobnych wiemy, że trójkąt podobny w skali \(k\) będzie miał \(k^2\) razy większe pole. Możemy więc zapisać, że:

$$P_{ABS}=k^2\cdot P_{CDS} \\

12=\left(\frac{3}{2}\right)^2\cdot P_{CDS} \\

12=\frac{9}{4}\cdot P_{CDS} \\

P_{CDS}=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-512.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021