---
route: /task/matura-sierpie-2021-32
title: Zadanie matura-sierpie-2021-32
source: Matura sierpień 2021
category: Planimetria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-32

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie \(ABC\) kąt przy wierzchołku \(A\) jest prosty, a kąt przy wierzchołku \(B\) ma miarę \(30^\circ \). Na boku \(AB\) tego trójkąta obrano punkt \(D\) tak, że miara kąta \(CDA\) jest równa \(60^\circ \) oraz \(|AD|=6\) (zobacz rysunek). Oblicz \(|BD|\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(12\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Wiedząc, że suma kątów w trójkącie jest równa \(180°\), powstanie nam następująca sytuacja:

Kluczowym wnioskiem jaki płynie z tego rysunku jest to, że trójkąt \(DBC\) jest równoramienny, w którym \(|CD|=|BD|\). To obserwacja znacząco ułatwia rozwiązanie zadania, ponieważ długość odcinka \(CD\) jesteśmy w stanie podać niemalże od ręki, korzystając z własności trójkątów o kątach \(30°,60°,90°\).

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(CD\) oraz \(BD\).

Spójrzmy na trójkąt \(ADC\). Jest to trójkąt o kątach \(30°,60°,90°\). Z własności tych trójkątów wiemy, że przyprostokątna leżąca przy kącie \(60°\) jest dwa razy krótsza od przeciwprostokątnej, a to by oznaczało, że:

$$|CD|=2\cdot6 \\

|CD|=12$$

W pierwszym kroku ustaliliśmy już, że boki \(CD\) oraz poszukiwany \(BD\) mają jednakową miarę, zatem \(|BD|=12\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-511.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021