---
route: /task/matura-sierpie-2021-31
title: Zadanie matura-sierpie-2021-31
source: Matura sierpień 2021
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-31

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) spełniona jest nierówność \(b(5b-4a)+a^2\ge0\).

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Na początek spróbujmy wymnożyć \(b\) przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:

$$5b^2-4ab+a^2\ge0 \\

a^2-4ab+5b^2\ge0$$

Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość \(5b^2\). Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako \(4b^2+b^2\), dzięki czemu otrzymamy:

$$a^2-4ab+4b^2+b^2\ge0$$

Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\) widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:

$$(a-2b)^2+b^2\ge0$$

Wartość \((a-2b)^2\) jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość \(b^2\) jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021