---
route: /task/matura-sierpie-2021-30
title: Zadanie matura-sierpie-2021-30
source: Matura sierpień 2021
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-30

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż równanie \(\frac{x+8}{x-7}=2x\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=-\frac{1}{2}\) lub \(x=8\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.

Z racji tego iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\) to nasz mianownik musi być różny od zera i właśnie z tego względu, musimy zapisać założenia do równania. W związku z tym:

$$x-7\neq0 \\

x\neq7$$

Krok 2. Rozwiązanie równania.

Wymnażając obydwie strony równania przez \(x-7\), otrzymamy:

$$\frac{x+8}{x-7}=2x \quad\bigg/\cdot(x-7) \\

x+8=2x^2-14x \\

-2x^2+15x+8=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Podczas rozwiązywania powstało nam równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać tradycyjną metodą delty.

Współczynniki: \(a=-2,\;b=15,\;c=8\)

$$Δ=b^2-4ac=15^2-4\cdot(-2)\cdot8=225-(-64)=225+64=289 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{289}=17$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15-17}{2\cdot(-2)}=\frac{-32}{-4}=8 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-15+17}{2\cdot(-2)}=\frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}$$

Obydwa rozwiązania nie wykluczają się z naszymi założeniami, zatem obydwa równania są poprawne, czyli \(x=-\frac{1}{2} \quad\lor\quad x=8\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021