---
route: /task/matura-sierpie-2021-20
title: Zadanie matura-sierpie-2021-20
source: Matura sierpień 2021
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2021-20

**Źródło:** Matura sierpień 2021
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(70\). Na boku \(AB\) obrano punkt \(E\), na przekątnej \(AC\) obrano punkt \(F\), a na boku \(AD\) obrano punkt \(G\) - tak, że czworokąt \(AEFG\) jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto \(|EF|=30\) i \(|GF|=40\). Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy:

## Odpowiedzi

- **A.** \( 158 \)
- **B.** \( 196 \)
- **C.** \( 336 \)
- **D.** \( 490 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństwa prostokątów i zapisanie stosunku długości boków.

W zadaniu mamy do czynienia z prostokątami podobnymi. Z treści zadania wynika, że ten mały prostokąt \(AEFG\) ma wymiary \(40\times30\), zatem stosunek długości boków wynosi tutaj \(40:30\), czyli \(4:3\). Analogiczny stosunek długości boków musi więc wystąpić w tym drugim prostokącie, zatem możemy zapisać, że bok \(AB=4x\) oraz \(BC=3x\).

Krok 2. Obliczenie długości boków prostokąta \(ABCD\).

Spójrzmy na trójkąt \(ABC\). Jest to trójkąt prostokątny w którym przyprostokątne mają długość \(3x\) oraz \(4x\), a przeciwprostokątna jest równa \(70\) (zgodnie z treścią zadania). Skoro tak, to korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:

$$(3x)^2+(4x)^2=70^2 \\

9x^2+16x^2=4900 \\

25x^2=4900 \\

x^2=196 \\

x=14 \quad\lor\quad x=-14$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(x=14\).

Skoro tak, to długości boków naszego prostokąta będą następujące:

$$|AB|=4x=4\cdot14=56 \\

|BC|=3x=3\cdot14=42$$

Wiemy już zatem, że nasz duży prostokąt ma wymiary \(56\times42\).

Krok 3. Obliczenie obwodu prostokąta \(ABCD\).

Na koniec została już tylko formalność, czyli obliczenie obwodu tej figury:

$$Obw=2\cdot56+2\cdot42 \\

Obw=112+84 \\

Obw=196$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-517.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2021