---
route: /task/matura-sierpie-2020-33
title: Zadanie matura-sierpie-2020-33
source: Matura sierpień 2020
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-33

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa \(12\). Oblicz objętość tego stożka.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=72\pi\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie zależności między polem powierzchni bocznej i polem podstawy.

Ze wzorów na pole powierzchni bocznej i pole podstawy wiemy, że:

$$P_{b}=\pi rl \\

P_{p}=\pi r^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni bocznej jest trzy razy większe od pola podstawy, zatem:

$$P_{b}=3\cdot P_{p} \\

\pi rl=3\cdot(\pi r^2) \\

\pi rl=3\pi r^2 \\

rl=3r^2 \\

l=3r$$

Otrzymaliśmy informację, że \(l=3r\), czyli że tworząca stożka jest trzy razy dłuższa od promienia podstawy.

Krok 2. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Skoro \(l=3r\), to nasz stożek będzie wyglądał następująco:

Utworzył nam się trójkąt prostokątny, w którym jedyną niewiadomą jest \(r\) i to właśnie z tego trójkąta obliczymy teraz długość promienia stożka.

Krok 3. Obliczenie długości promienia stożka.

Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$r^2+12^2=(3r)^2 \\

r^2+144=9r^2 \\

8r^2=144 \\

r^2=18 \\

r=\sqrt{18} \quad\lor\quad r=-\sqrt{18}$$

Ujemną wartość oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{18}\). Moglibyśmy jeszcze wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka otrzymując \(r=3\sqrt{2}\), ale tutaj nie jest to potrzebne, bo i tak zaraz będziemy długość tego promienia podnosić do kwadratu.

Krok 4. Obliczenie objętości stożka.

Skoro \(H=12\) oraz \(r=\sqrt{18}\), to objętość stożka będzie równa:

$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot (\sqrt{18})^2\cdot12 \\

V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 18\cdot12 \\

V=72\pi$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-454.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020