---
route: /task/matura-sierpie-2020-28
title: Zadanie matura-sierpie-2020-28
source: Matura sierpień 2020
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-28

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \[a(a + b) + b^2 \gt 3ab\]

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Wymnażając nawias i przenosząc wszystko na lewą stronę, otrzymamy:

$$a^2+ab+b^2\gt3ab \\

a^2-2ab+b^2\gt0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że wartość \(a^2-2ab+b^2\) możemy zwinąć do postaci \((a-b)^2\), zatem zostanie nam nierówność:

$$(a-b)^2\gt0$$

Krok 1. Zakończenie dowodzenia.

Skoro \(a\) oraz \(b\) są różnymi liczbami, to różnica \(a-b\) jest różna od zera. Wiemy zatem, że w nawiasie znalazła nam się liczba różna od zera, którą podnosimy teraz do kwadratu. Jakakolwiek liczba (różna od zera) podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, co kończy nasze dowodzenie.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020