---
route: /task/matura-sierpie-2020-27
title: Zadanie matura-sierpie-2020-27
source: Matura sierpień 2020
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-27

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x + 2,\ 4x + 2,\ x + 11)\). Oblicz wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(-\frac{6}{5},\ 1\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wykorzystanie własności dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.

Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:

$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$

Podstawiając wyrazy z treści zadania otrzymamy następujące równanie:

$$(4x+2)^2=(x+2)(x+11)$$

Teraz nasze równanie musimy uprościć, wymnażając przez siebie poszczególne wyrazy. Po lewej stronie równania będziemy mogli skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)=a^2+2ab+b^2\), zatem:

$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22 \\

16x^2+16x+4=x^2+13x+22 \\

15x^2+3x-18=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Powstało nam klasyczne równanie kwadratowe zapisane w postaci ogólnej, które teraz musimy rozwiązać, zatem:

Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)

$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=9+1080=1089 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-\frac{6}{5} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$

Krok 3. Interpretacja otrzymanego wyniku.

Wyszły nam dwie różne wartości \(x\). Nie mamy powodu, by którąkolwiek z nich odrzucić (moglibyśmy odrzucać gdyby np. w treści zadania była informacja, że ciąg jest rosnący). W związku z tym rozwiązaniem tego zadania jest \(x=-\frac{6}{5}\) oraz \(x=1\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020