---
route: /task/matura-sierpie-2020-17
title: Zadanie matura-sierpie-2020-17
source: Matura sierpień 2020
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-17

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry oraz \(\sin \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \cos \alpha =\frac{5}{2\sqrt{5}} \)
- **B.** \( \cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5} \)
- **C.** \( \cos \alpha =\frac{1}{5} \)
- **D.** \( \cos \alpha =\frac{4}{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2020-17.png]

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

\left(\frac{2\sqrt{5}}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{4\cdot5}{25}+cos^2α=1 \\

\frac{20}{25}+cos^2α=1 \\

cos^2α=\frac{1}{5} \\

cosα=\sqrt{\frac{1}{5}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{1}{5}}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo kąt \(α\) jest kątem ostrym, zatem zostaje nam \(cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}\). Musimy się jeszcze dopasować do proponowanych odpowiedzi, usuwając po drodze niewymierność z mianownika:

$$cosα=\sqrt{\frac{1}{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{1\cdot\sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020