---
route: /task/matura-sierpie-2020-15
title: Zadanie matura-sierpie-2020-15
source: Matura sierpień 2020
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-15

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Przyprostokątna \(AC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) ma długość \(6\), a wysokość \(CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \(ADC\) i \(CDB\), że pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od pola trójkąta \(CDB\) (zobacz rysunek). Przyprostokątna \(BC\) trójkąta prostokątnego \(ABC\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 1{,}5 \)
- **B.** \( 2 \)
- **C.** \( 2{,}5 \)
- **D.** \( 3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie skali podobieństwa trójkątów.

Z własności podobieństwa wynika, że jeżeli jakiś trójkąt jest podobny do drugiego w skali podobieństwa równej \(k\), to pole tego trójkąta będzie \(k^2\) razy większe. W naszym przypadku pole trójkąta \(ADC\) jest \(4\) razy większe od trójkąta \(CDB\), zatem:

$$k^2=4 \\

k=2 \quad\lor\quad k=-2$$

Skala podobieństwa nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(k=2\).

Krok 2. Obliczenie długości przyprostokątnej \(BC\).

Wiemy już, że skala podobieństwa jest równa \(k=2\), czyli że wszystkie boki trójkąta \(ADC\) są dwa razy większe od analogicznych boków trójkąta \(CDB\).

Bok \(BC\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(CDB\), tak samo jak bok \(CA\) jest przeciwprostokątną trójkąta \(ADC\). Skoro tak, to bok \(BC\) będzie dwa razy krótszy od boku \(CA\), czyli \(|BC|=3\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020