---
route: /task/matura-sierpie-2020-12
title: Zadanie matura-sierpie-2020-12
source: Matura sierpień 2020
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2020-12

**Źródło:** Matura sierpień 2020
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Do okręgu o środku w punkcie \(S = (2, 4)\) należy punkt \(P = (1, 3)\). Długość tego okręgu jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( 4\pi\sqrt{2} \)
- **B.** \( 3\pi\sqrt{2} \)
- **C.** \( 2\pi\sqrt{2} \)
- **D.** \( \pi\sqrt{2} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Sytuacja z treści zadania będzie wyglądać mniej więcej w ten oto sposób:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-448.png)

Krok 2. Obliczenie długości promienia okręgu.

Długość promienia okręgu możemy obliczyć korzystając ze wzoru na długość odcinka. Jednak prościej będzie skorzystać z rysunku pomocniczego, bowiem wprost widzimy, że utworzył nam się tutaj trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długości \(1\) (taka połówka kwadratu). Możemy więc od razu zauważyć, że \(r=\sqrt{2}\) (bo przekątna kwadratu jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od boku kwadratu). Ewentualnie możemy posłużyć się Twierdzeniem Pitagorasa:

$$1^2+1^2=r^2 \\

1+1=r^2 \\

r^2=2 \\

r=\sqrt{2} \quad\lor\quad r=-\sqrt{2}$$

Ujemny wynik oczywiście odrzucamy, zatem zostaje nam \(r=\sqrt{2}\).

Krok 3. Obliczenie długości okręgu.

Korzystając ze wzoru na obwód okręgu możemy zapisać, że:

$$Obw=2\pi r \\

Obw=2\pi\cdot\sqrt{2}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2020