---
route: /task/matura-sierpie-2019-32
title: Zadanie matura-sierpie-2019-32
source: Matura sierpień 2019
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2019-32

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ciągu arytmetycznym \((a_1,a_2,...,a_{39},a_{40})\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \(1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(10\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Z treści zadania wynika, że:

$$a_{2}+a_{4}+a_{6}+...+a_{38}+a_{40}=1340 \\

\text{oraz} \\

a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}=1400$$

Powstały nam więc tak jakby dwa oddzielne ciągi arytmetyczne, każdy składający się z 20-stu wyrazów.

Jak dobrze się przyjrzymy to zauważymy, że każdy wyraz pierwszego ciągu jest o \(r\) większy od analogicznego wyrazu z ciągu drugiego, bo przecież:

$$a_{2}=a_{1}+r \\

a_{4}=a_{3}+r \\

a_{40}=a_{39}+r$$

Możemy więc ten pierwszy ciąg zapisać jako:

$$(a_{1}+r)+(a_{3}+r)+(a_{5}+r)+...+(a_{37}+r)+(a_{39}+r)=1340 \\

\text{czyli:} \\

a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}+20r=1340$$

Skoro suma \(a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{37}+a_{39}\) jest równa \(1400\), to podstawiając to do powyższego równania otrzymamy:

$$1400+20r=1340 \\

20r=-60 \\

r=-3$$

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów ciągu arytmetycznego.

Skoro suma wyrazów parzystych jest równa \(1340\), a suma wyrazów nieparzystych jest równa \(1400\), to suma wszystkich wyrazów naszego całego czterdziesto-wyrazowego ciągu wynosi:

$$S_{40}=1340+1400 \\

S_{40}=2740$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Skorzystamy teraz ze wzoru na sumę \(n\)-tych wyrazów ciągu arytmetycznego:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{40}=\frac{a_{1}+a_{40}}{2}\cdot40$$

Wiemy już, że \(S_{40}=2740\) oraz że \(r=-3\). Dodatkowo wartość \(a_{40}\) możemy rozpisać jako \(a_{1}+39r\). To sprawia, że:

$$S_{40}=\frac{a_{1}+a_{1}+39r}{2}\cdot40 \\

2740=\frac{a_{1}+a_{1}+39\cdot(-3)}{2}\cdot40 \\

2740=(a_{1}+a_{1}+(-117))\cdot20 \\

137=2a_{1}-117 \\

2a_{1}=254 \\

a_{1}=127$$

Krok 4. Obliczenie wartości czterdziestego wyrazu.

Skoro \(a_{1}=127\) oraz \(r=-3\), to korzystając z tego, że \(a_{40}=a_{1}+39r\) otrzymamy:

$$a_{40}=a_{1}+39r \\

a_{40}=127+39\cdot(-3) \\

a_{40}=127-117 \\

a_{40}=10$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019