---
route: /task/matura-sierpie-2019-31
title: Zadanie matura-sierpie-2019-31
source: Matura sierpień 2019
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2019-31

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Przekątne rombu \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S=\left(-\frac{21}{2},-1\right)\). Punkty \(A\) i \(C\) leżą na prostej o równaniu \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \(BD\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(y=-3x-32\frac{1}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2019-31.png]

Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej \(BD\).

Wiemy, że prosta \(AC\) wyraża się równaniem \(y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\), czyli współczynnik kierunkowy \(a\) tej prostej wynosi \(\frac{1}{3}\). Prosta \(BD\) musi być prostopadła do naszej prostej \(AC\), a aby dwie proste były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych musi być równy \(-1\). W związku z tym prosta \(BD\) będzie miała współczynnik \(a\) równy:

$$\frac{1}{3}\cdot a=-1 \\

a=-3$$

Możemy teraz podstawić wyznaczony współczynnik do postaci kierunkowej \(y=ax+b\), a to oznacza, że wzór prostej \(BD\) możemy zapisać już jako \(y=-3x+b\).

Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\) prostej \(BD\).

Do poznania pełnego wzoru brakuje nam jeszcze współczynnika \(b\). Wyznaczymy go podstawiając do otrzymanej przed chwilą postaci \(y=-3x+b\) współrzędne punktu \(S\), przez który ta prosta przechodzi. Podstawiając zatem \(x=-\frac{21}{2}\) oraz \(y=-1\) otrzymamy:

$$y=-3x+b \\

-1=-3\cdot(-\frac{21}{2})+b \\

-1=\frac{63}{2}+b \\

-1=31\frac{1}{2}+b \\

b=-32\frac{1}{2}$$

To oznacza, że nasza prosta \(BD\) wyraża się równaniem: \(y=-3x-32\frac{1}{2}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019