---
route: /task/matura-sierpie-2019-22
title: Zadanie matura-sierpie-2019-22
source: Matura sierpień 2019
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2019-22

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Pole powierzchni całkowitej pewnego stożka jest \(3\) razy większe od pola powierzchni pewnej kuli. Promień tej kuli jest równy \(2\) i jest taki sam jak promień podstawy tego stożka. Tworząca tego stożka ma długość równą

## Odpowiedzi

- **A.** \( 12 \)
- **B.** \( 11 \)
- **C.** \( 24 \)
- **D.** \( 22 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2019-22.png]

Krok 2. Zapisanie wzorów i ułożenie równania.

Zapiszmy sobie na wstępie wzory na pole powierzchni całkowitej stożka oraz kuli:

$$P_{s}=πr(r+l) \\

P_{k}=4πr^2$$

Z treści zadania wynika, że pole powierzchni całkowitej stożka jest \(3\) razy większe od pola kuli, zatem:

$$P_{s}=3P_{k} \\

πr(r+l)=3\cdot4πr^2 \\

πr(r+l)=12πr^2 \\

r(r+l)=12r^2$$

Krok 3. Obliczenie długości tworzącej stożka.

Szukamy długości tworzącej stożka, czyli \(l\). Z treści zadania wynika, że promień zarówno kuli jak i stożka to \(r=2\), zatem podstawiając to do wyznaczonego przed chwilą równania otrzymamy:

$$2\cdot(2+l)=12\cdot2^2 \\

4+2l=12\cdot4 \\

4+2l=48 \\

2l=44 \\

l=22$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019