---
route: /task/matura-sierpie-2019-21
title: Zadanie matura-sierpie-2019-21
source: Matura sierpień 2019
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2019-21

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest prostopadłościan o wymiarach \(30 \text{ cm} \times 40 \text{ cm} \times 120 \text{ cm}\) (zobacz rysunek), a ponadto dane są cztery odcinki \(a, b, c, d\), o długościach - odpowiednio - \(119 \text{ cm}, 121 \text{ cm}, 129 \text{ cm i } 131 \text{ cm}\). Przekątna tego prostopadłościanu jest dłuższa

## Odpowiedzi

- **A.** tylko od odcinka \(a\).
- **B.** tylko od odcinków \(a\) i \(b\).
- **C.** tylko od odcinków \(a\), \(b\) i \(c\).
- **D.** od wszystkich czterech danych odcinków.

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy na początek narysować tę sytuację, zaznaczając od razu przekątną całego prostopadłościanu.

Utworzył nam się trójkąt prostokątny w którym przekątna bryły jest przeciwprostokątną tego trójkąta. To właśnie z tego trójkąta wyznaczymy długość tej przekątnej.

Krok 2. Obliczenie długości przekątnej podstawy.

Zanim obliczymy przekątną całego prostopadłościanu to widzimy z rysunku, że musimy obliczyć przekątną podstawy. Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:

$$120^2+30^2=c^2 \\

14400+900=c^2 \\

c^2=15300 \\

c=\sqrt{15300} \quad\lor\quad c=-\sqrt{15300}$$

Ujemną wartość odrzucamy, bo długość boku musi być dodatnia. Zostaje nam więc \(c=\sqrt{15300}\) i na razie w takiej postaci to zostawimy.

Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.

Teraz korzystając z naszego zaznaczonego trójkąta prostokątnego możemy obliczyć długość przekątnej całej bryły, ponownie korzystając z Twierdzenia Pitagorasa:

$$(\sqrt{15300})^2+40^2=d^2 \\

15300+1600=d^2 \\

d^2=16900 \\

d=\sqrt{16900} \quad\lor\quad d=-\sqrt{16900} \\

d=130 \quad\lor\quad d=-130$$

Ponownie odrzucamy ujemną długość, zatem zostaje nam \(d=130\).

Krok 4. Wybór prawidłowej odpowiedzi.

Musimy odpowiedzieć na pytanie od ilu z podanych odcinków nasza przekątna prostopadłościanu jest dłuższa i widzimy wyraźnie, że jest dłuższa od trzech odcinków: \(a\), \(b\) oraz \(c\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-348.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019