---
route: /task/matura-sierpie-2019-14
title: Zadanie matura-sierpie-2019-14
source: Matura sierpień 2019
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2019-14

**Źródło:** Matura sierpień 2019
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Na podstawie \(AB\) tego trójkąta leży punkt \(D\), taki że \(|AD|=|CD|\), \(|BC|=|BD|\) oraz \(\sphericalangle BCD=72^\circ \) (zobacz rysunek). Wynika stąd, że kąt \(ACD\) ma miarę

## Odpowiedzi

- **A.** \( 38^\circ \)
- **B.** \( 36^\circ \)
- **C.** \( 42^\circ \)
- **D.** \( 40^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie miary kąta \(CDB\).

Spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Z treści zadania możemy wywnioskować, że jest to trójkąt równoramienny, ponieważ \(|BC|=|BD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(DC\) mają jednakową miarę, a to oznacza, że:

$$|\sphericalangle CDB|=72°$$

Krok 2. Obliczenie miary kąta \(ADC\).

Kąt \(ADC\) oraz obliczony przed chwilą \(CDB\) to kąty przyległe, czyli takie których suma miar jest równa \(180°\). Możemy więc zapisać, że:

$$|\sphericalangle ADC|=180°-72°=108°$$

Krok 3. Obliczenie miary kąta \(ACD\).

Teraz spójrzmy na trójkąt \(ADC\). To także jest trójkąt równoramienny, bowiem \(|AD|=|CD|\). Skoro tak, to kąty przy podstawie \(AC\) muszą mieć jednakową miarę. Wiemy już, że kąt \(ADC\) ma miarę \(108°\), czyli na dwa kąty przy podstawie \(AC\) zostaje nam: \(180°-108°=72°\). Skoro kąty przy podstawie \(AC\) muszą być jednakowej miary to:

$$|\sphericalangle ACD|=72°:2=36°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2019