---
route: /task/matura-sierpie-2018-34
title: Zadanie matura-sierpie-2018-34
source: Matura sierpień 2018
category: Planimetria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2018-34

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W trójkącie prostokątnym \(ACB\) przyprostokątna \(AC\) ma długość \(5\), a promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równy \(2\). Oblicz pole trójkąta \(ACB\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(P = 30\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Boki trójkąta są tak naprawdę stycznymi do okręgu, zatem wykorzystując własności stycznych do okręgu możemy stworzyć taki oto rysunek pomocniczy:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-323.png)

Krok 2. Obliczenie wartości niewiadomej \(x\).

Skoro jest to trójkąt prostokątny, to możemy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:

$$|AB|^2+|AC|^2=|BC|^2 \\

(2+x)^2+5^2=(3+x)^2 \\

4+4x+x^2+25=9+6x+x^2 \quad\bigg/-x^2 \\

4+4x+25=9+6x \\

4x+29=9+6x \\

-2x+29=9 \\

-2x=-20 \\

x=10$$

Krok 3. Obliczenie długości boku \(AB\).

Skoro \(x=10\), to znaczy że:

$$|AB|=2+x \\

|AB|=2+10 \\

|AB|=12$$

Krok 4. Obliczenie pola powierzchni trójkąta.

Wiemy już, że podstawa trójkąta ma długość \(12\) i wysokość \(5\), zatem:

$$P=\frac{1}{2}ah \\

P=\frac{1}{2}\cdot12\cdot5 \\

P=6\cdot5 \\

P=30$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018