---
route: /task/matura-sierpie-2018-30
title: Zadanie matura-sierpie-2018-30
source: Matura sierpień 2018
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2018-30

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dziewiąty wyraz ciągu arytmetycznego \((a_n)\), określonego dla \(n \ge 1\), jest równy \(34\), a suma jego ośmiu początkowych wyrazów jest równa \(110\). Oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1 = -2\), \(r = 4\frac{1}{2}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ułożenie układu równań

Korzystając ze wzoru ogólnego na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:

$$a_{9}=a_{1}+8r \\

a_{1}+8r=34$$

To będzie nasze pierwsze równanie z którego zbudujemy układ równań. Drugie równanie będzie wynikać z informacji na temat sumy ośmiu początkowych wyrazów:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{8}=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\

110=\frac{a_{1}+a_{8}}{2}\cdot8 \\

110=(a_{1}+a_{8})\cdot4 \quad\bigg/:4 \\

a_{1}+a_{8}=27,5 \\

a_{1}+a_{1}+7r=27,5 \\

2a_{1}+7r=27,5$$

To oznacza, że możemy stworzyć następujący układ równań:

$$\begin{cases}

a_{1}+8r=34 \\

2a_{1}+7r=27,5

\end{cases}$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego układu równań i wyznaczenie różnicy ciągu arytmetycznego.

Najprościej będzie zastosować tutaj metodę podstawiania, wyznaczając wartość \(a_{1}\) z pierwszego równania:

$$\begin{cases}

a_{1}=34-8r \\

2a_{1}+7r=27,5

\end{cases}$$

Podstawiając teraz pierwsze równanie do drugiego otrzymamy:

$$2\cdot(34-8r)+7r=27,5 \\

68-16r+7r=27,5 \\

68-9r=27,5 \\

-9r=-40,5 \\

r=4,5$$

Krok 3. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.

Znając wartość \(r=4,5\) możemy obliczyć wartość pierwszego wyrazu, podstawiając wyliczoną różnicę do jednego z wyznaczonych równań:

$$a_{1}=34-8r \\

a_{1}=34-8\cdot4,5 \\

a_{1}=34-36 \\

a_{1}=-2$$

To oznacza, że \(a_{1}=-2\) oraz \(r=4,5\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018