---
route: /task/matura-sierpie-2018-29
title: Zadanie matura-sierpie-2018-29
source: Matura sierpień 2018
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2018-29

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że jeżeli \(a\) i \(b\) są liczbami rzeczywistymi dodatnimi, to \((a + b)\biggl(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\biggl) \ge 4\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Skoro \(a\) oraz \(b\) są liczbami dodatnimi, to możemy być pewni że dzieląc lub mnożąc obie strony nierówności przez te niewiadome nie będziemy musieli zmieniać znaku nierówności na przeciwny. W związku z tym możemy zacząć przekształcać naszą nierówność. Najlepiej będzie zacząć od wymnożenia wartości w nawiasach:

$$(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4 \\

1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1\ge4 \\

\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2 \quad\bigg/\cdot b \\

a+\frac{b^2}{a}\ge2b \quad\bigg/\cdot a \\

a^2+b^2\ge2ab \\

a^2-2ab+b^2\ge0 \\

(a-b)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018