---
route: /task/matura-sierpie-2018-16
title: Zadanie matura-sierpie-2018-16
source: Matura sierpień 2018
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2018-16

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\). Wtedy

## Odpowiedzi

- **A.** \( \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{16}{15} \)
- **B.** \( \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{15}{16} \)
- **C.** \( \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{8}{15} \)
- **D.** \( \sin \alpha \cdot \operatorname{tg} \alpha = \frac{6}{20} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2018-16.png]

Krok 2. Obliczenie wartości sinusa.

Korzystając z jedynki trygonometrycznej możemy zapisać, że:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

sin^2α+\left(\frac{3}{5}\right)^2=1 \\

sin^2α+\frac{9}{25}=1 \\

sin^2α=\frac{16}{25} \\

sinα=\sqrt{\frac{16}{25}} \quad\lor\quad sinα=-\sqrt{\frac{16}{25}} \\

sinα=\frac{4}{5} \quad\lor\quad sinα=-\frac{4}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo sinus dla kątów ostrych przyjmuje wartości dodatnie, zatem zostaje nam \(sinα=\frac{4}{5}\).

Krok 3. Obliczenie wartości tangensa.

Wiedząc, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy zapisać, że:

$$tgα=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \\

tgα=\frac{4}{5}:\frac{3}{5} \\

tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{3} \\

tgα=\frac{4}{3}$$

Krok 4. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot tgα\).

Na sam koniec musimy jeszcze obliczyć wartość wyrażenia \(sinα\cdot tgα\), bo tego tak naprawdę dotyczy całe zadanie:

$$sinα\cdot tgα=\frac{4}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{16}{15}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018