---
route: /task/matura-sierpie-2018-05
title: Zadanie matura-sierpie-2018-05
source: Matura sierpień 2018
category: Potęgi i pierwiastki
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2018-05

**Źródło:** Matura sierpień 2018
**Kategoria:** Potęgi i pierwiastki
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Równość \((a+2\sqrt{3})^2=13+4\sqrt{3}\) jest prawdziwa dla

## Odpowiedzi

- **A.** \( a=\sqrt{13} \)
- **B.** \( a=1 \)
- **C.** \( a=0 \)
- **D.** \( a=\sqrt{13}+1 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

I sposób - podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania.

Możemy podstawiać po kolei do równania poszczególne odpowiedzi, sprawdzając kiedy lewa strona będzie równa prawej. Rozwiązując to zadanie w ten sposób otrzymamy:

Odp. A. Dla \(a=\sqrt{13}\)

$$(\sqrt{13}+2\sqrt{3})^2=13+2\cdot\sqrt{13}\cdot2\sqrt{3}+4\cdot3=13+4\sqrt{39}+12=25+4\sqrt{39}$$

W tym przypadku nie udało nam się otrzymać wyniku \(13+4\sqrt{3}\).

Odp. B. Dla \(a=1\)

$$(1+2\sqrt{3})^2=1+4\sqrt{3}+4\cdot3=1+4\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3}$$

Otrzymaliśmy dokładnie \(13+4\sqrt{3}\), zatem możemy zaznaczyć, że poszukiwaną liczba jest \(a=1\) i nie musimy już obliczać kolejnych odpowiedzi.

II sposób - przekształcając lewą i prawą stronę równania.

Jeżeli chcemy podejść do zadania nieco bardziej matematycznie, to możemy całość rozwiązać w następujący sposób:

Lewa strona równania:

$$(a+2\sqrt{3})^2=a^2+4\sqrt{3}a+12$$

Prawa strona równania:

$$13+4\sqrt{3}=1+4\sqrt{3}+12$$

Porównując teraz zapisy lewej i prawej strony widzimy wyraźnie, że aby były one sobie równe, to \(a=1\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/potegi-i-pierwiastki
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2018