---
route: /task/matura-sierpie-2017-34
title: Zadanie matura-sierpie-2017-34
source: Matura sierpień 2017
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-34

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą graniastosłupa prostego \(ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB=90^\circ |\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(BC\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(ABC\), a długość odcinka \(SC\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(BEFC\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=192\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości boku \(AB\).

Skoro trójkąt \(ABC\) jest prostokątny i na nim jest opisany okrąg, to znaczy że przeciwprostokątna tego trójkąta (czyli właśnie bok \(AB\)) jest równy średnicy tego okręgu. Wynika to z własności okręgów opisanych na trójkątach prostokątnych. Z treści zadania wiemy, że promień okręgu jest równy \(r=5\) (bo odcinek \(SC\) jest promieniem), zatem średnica okręgu, czyli odcinek \(AB\) będzie równy:

$$|AB|=2\cdot5 \\

|AB|=10$$

Krok 2. Obliczenie długości boków \(AC\) oraz \(BC\).

Skoro stosunek boków \(AC\) do \(BC\) jest równy \(4:3\), to możemy zapisać, że \(|AC|=4x\), natomiast \(|BC|=3x\). Wartość niewiadomej \(x\) obliczymy teraz z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \(ABC\):

$$|AC|^2+|BC|^2=|AB|^2 \\

(4x)^2+(3x)^2=10^2 \\

16x^2+9x^2=100 \\

25x^2=100 \\

x^2=4 \\

x=2 \quad\lor\quad x=-2$$

Ujemną długość oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej wartości, zatem zostaje nam \(x=2\). Zgodnie z naszymi oznaczeniami zapisaliśmy długości boków \(AC\) oraz \(BC\) jako \(4x\) oraz \(3x\), czyli:

$$|AC|=4x \\

|AC|=4\cdot2 \\

|AC|=8 \\

\quad \\

|BC|=3x \\

|BC|=3\cdot2 \\

|BC|=6$$

Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.

Spójrzmy na prostokąt \(BEFC\). Wiemy, że jego pole jest równe \(48\) i wiemy też, że dolny bok tego prostokąta (czyli bok \(BC\)) ma długość \(6\). To oznacza, że wysokość tego prostokąta (czyli wysokość całego graniastosłupa) jest równa:

$$P=|BC|\cdot|BE| \\

48=6\cdot|BE| \\

|BE|=8$$

Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.

W podstawie graniastosłupa mamy trójkąt o przyprostokątnych \(6\) oraz \(8\), czyli bez przeszkód obliczymy pole podstawy. Dodatkowo wiemy już, że wysokość graniastosłupa jest równa \(8\), zatem możemy przejść do obliczenia objętości tej bryły:

$$V=P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{2}\cdot8\cdot6\cdot8 \\

V=192$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017