---
route: /task/matura-sierpie-2017-32
title: Zadanie matura-sierpie-2017-32
source: Matura sierpień 2017
category: Funkcja kwadratowa
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-32

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \(x_1=-2\) i \(x_2=6\). Wykres funkcji \(f\) przechodzi przez punkt \(A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \(f\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(-\frac{16}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie wzoru funkcji w postaci iloczynowej.

Znając miejsca zerowe funkcji możemy zapisać ją w postaci iloczynowej:

$$f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2}) \\

f(x)=a(x-(-2))(x-6) \\

f(x)=a(x+2)(x-6)$$

Krok 2. Wyznaczenie współczynnika kierunkowego \(a\).

W postaci iloczynowej brakuje nam jeszcze tylko znajomości współczynnika kierunkowego \(a\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonej postaci współrzędne punktu \(A=(1,-5)\). Wtedy:

$$-5=a(1+2)(1-6) \\

-5=a\cdot3\cdot(-5) \\

-5=-15a \\

a=\frac{1}{3}$$

To oznacza, że nasza funkcja w postaci iloczynowej przyjmuje wzór: \(f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6)\).

Krok 3. Wyznaczenie współrzędnej iksowej wierzchołka paraboli (czyli współrzędnej \(p\)).

Nasza funkcja ma współczynnik kierunkowy równy \(a=\frac{1}{3}\), a to oznacza, że ramiona paraboli będą skierowane do góry. To z kolei prowadzi nas do wniosku, że minimalną wartość funkcja osiągnie w swoim wierzchołku. Znając dwa miejsca zerowe możemy bez problemu wyznaczyć współrzędną iksową wierzchołka paraboli, bowiem wierzchołek jest zawsze pośrodku tych miejsc zerowych. Zatem:

$$p=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} \\

p=\frac{-2+6}{2} \\

p=\frac{4}{2} \\

p=2$$

Krok 4. Obliczenie najmniejszej wartości funkcji.

Wiemy już, że funkcja przyjmuje najmniejszą wartość w wierzchołku i wiemy że osiąga ten wierzchołek dla \(x=2\). W związku z tym możemy podstawić \(x=2\) do wzoru funkcji, który wyznaczyliśmy w drugim kroku i otrzymamy poszukiwaną najmniejszą wartość funkcji:

$$f(x)=\frac{1}{3}(x+2)(x-6) \\

f(2)=\frac{1}{3}(2+2)(2-6) \\

f(2)=\frac{1}{3}\cdot4\cdot(-4) \\

f(2)=\frac{1}{3}\cdot(-16) \\

f(2)=-\frac{16}{3}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017