---
route: /task/matura-sierpie-2017-31
title: Zadanie matura-sierpie-2017-31
source: Matura sierpień 2017
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-31

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge 1\), w którym spełniona jest równość \(a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \(a_{25}+a_{26}\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(50\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przekształcenie wyrazów z pierwszej sumy.

Każdy z wyrazów ciągu arytmetycznego możemy rozpisać korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

$$a_{n}=a_{1}+(n-1)r$$

W związku z tym:

$$a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100 \\

(a_{1}+20r)+(a_{1}+23r)+(a_{1}+26r)+(a_{1}+29r)=100 \\

4a_{1}+98r=100 \\

2a_{1}+49r=50$$

Krok 2. Obliczenie sumy \(a_{25}+a_{26}\).

Mamy obliczyć ile to jest \(a_{25}+a_{26}\), czyli zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy policzyć sumę:

$$a_{25}+a_{26}=(a_{1}+24r)+(a_{1}+25r) \\

a_{25}+a_{26}=2a_{1}+49r$$

Wiemy już jaka jest wartość wyrażenia \(2a_{1}+49r\), zatem możemy zapisać, że:

$$a_{25}+a_{26}=50$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017