---
route: /task/matura-sierpie-2017-29
title: Zadanie matura-sierpie-2017-29
source: Matura sierpień 2017
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-29

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\), w którym \(|\sphericalangle ACB|=90^\circ \) i \(|\sphericalangle ABC|=60^\circ \). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|AD|:|DB|=3:1\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

Spróbujmy narysować sobie tę sytuację nanosząc na rysunek dane z treści zadania:

Przy okazji możemy od razu zapisać, że skoro jest to trójkąt prostokątny i \(|\sphericalangle ABC|=60°\) to \(|\sphericalangle CAB|=30°\), co ułatwi nam późniejsze obliczenia.

Krok 2. Obliczenie długości odcinka \(|AD|\) (czyli \(x\)).

Spójrzmy na trójkąt prostokątny \(ADC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$$tg30°=\frac{h}{x} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{h}{x} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}x=h \quad\bigg/\cdot\frac{3}{\sqrt{3}} \\

x=\frac{3h}{\sqrt{3}}$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(DB\) (czyli \(y\)).

Tym razem spójrzmy na trójkąt \(DBC\). Korzystając z funkcji trygonometrycznych możemy zapisać, że:

$$tg60°=\frac{h}{y} \\

\sqrt{3}=\frac{h}{y} \\

\sqrt{3}y=h \\

y=\frac{h}{\sqrt{3}}$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Już po otrzymanych wynikach widzimy wyraźnie, że odcinek \(AD\) oznaczony jako \(x\) jest trzykrotnie większy od odcinka \(DB\) oznaczonego jako \(y\). Formalnie możemy jeszcze to zapisać w taki sposób:

$$|AD|:|DB|=x:y=\frac{3h}{\sqrt{3}}:\frac{h}{\sqrt{3}}=\frac{3h}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{h}=3$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-284.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017