---
route: /task/matura-sierpie-2017-28
title: Zadanie matura-sierpie-2017-28
source: Matura sierpień 2017
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-28

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) prawdziwa jest nierówność \[4x+\frac{1}{x}\ge 4.\]

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Aby udowodnić prawdziwość tej nierówności musimy przekształcić naszą nierówność. Na początku na pewno chcielibyśmy pomnożyć obie strony przez \(x\), ale przy nierównościach trzeba być ostrożnym, bowiem mnożąc przez liczby ujemne trzeba zmienić znak nierówności. My wiemy, że \(x\) jest dodatni, zatem możemy śmiało wymnażać, bez zmiany znaku:

$$4x+\frac{1}{x}\ge4 \quad\bigg/\cdot x\\

4x^2+1\ge4x \\

4x^2-4x+1\ge0 \\

(2x-1)^2\ge0$$

Z racji tego, iż każda liczba rzeczywista podniesiona do potęgi drugiej daje wynik większy lub równy zero, to dowodzenie możemy uznać za zakończone.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017