---
route: /task/matura-sierpie-2017-14
title: Zadanie matura-sierpie-2017-14
source: Matura sierpień 2017
category: Planimetria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2017-14

**Źródło:** Matura sierpień 2017
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Na okręgu o środku w punkcie \(O\) leżą punkty \(A\), \(B\) i \(C\) (zobacz rysunek). Kąt \(ABC\) ma miarę \(121^\circ \), a kąt \(BOC\) ma miarę \(40^\circ \). Kąt \(AOB\) ma miarę

## Odpowiedzi

- **A.** \( 59^\circ \)
- **B.** \( 50^\circ \)
- **C.** \( 81^\circ \)
- **D.** \( 78^\circ \)

**Prawidłowa odpowiedź:** D

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie miary kąta \(CBO\).

Na wstępie musimy dostrzec, że trójkąty \(BCO\) oraz \(ABO\) są równoramienne, bo ich ramiona mają długość równą promieniowi okręgu. Spójrzmy zatem na trojkąt \(BCO\). Wiemy, że kąt \(BOC\) ma miarę \(40°\), a to oznacza, że kąt \(CBO\) znajdujący się przy podstawie ma miarę:

$$|\sphericalangle CBO|=(180°-40°):2=140°:2=70°$$

Krok 2. Wyznaczenie miary kąta \(ABO\).

Wiemy, że kąt \(ABC\) ma miarę \(121°\) i widzimy na rysunku, że składa się on z kątów \(CBO\) oraz \(ABO\). Miarę kąta \(CBO\) wyliczyliśmy przed chwilą, zatem:

$$|\sphericalangle ABO|=121°-70°=51°$$

Krok 3. Wyznaczenie miary kąta \(AOB\).

Spójrzmy teraz na trójkąt \(ABO\). Wiemy że kąty przy podstawie mają tutaj \(51°\), bo jest to trójkąt równoramienny, zatem kąt \(AOB\) ma miarę:

$$|\sphericalangle AOB|=180°-2\cdot51°=180°-102°=78°$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2017