---
route: /task/matura-sierpie-2016-31
title: Zadanie matura-sierpie-2016-31
source: Matura sierpień 2016
category: Ciągi
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2016-31

**Źródło:** Matura sierpień 2016
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n=2016-3n\), dla \(n\ge 1\). Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(676368\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wyznaczenie liczby dodatnich wyrazów ciągu \((a_{n})\).

Aby dodać do siebie wartości wszystkich wyrazów dodatnich musimy najpierw ustalić ile ich tak właściwie jest w tym ciągu. Przykładowo gdy \(n=1\), to wyraz jest dodatni i jest równy \(a_{1}=2016-3=2013\). Jednak gdy \(n=1000\) to wyraz jest już ujemny i wynosi \(a_{1000}2016-3000=-984\). Aby obliczyć ile jest wyrazów dodatnich wystarczy rozwiązać następującą nierówność:

$$a_{n}\gt0 \\

2016-3n\gt0 \\

-3n\gt-2016 \\

-n\gt-672 \\

n\lt672$$

Wiemy, że w ciągach \(n\) musi być liczbą naturalną, czyli skoro \(n\lt672\) to będziemy mieli \(671\) wyrazów dodatnich.

Krok 2. Obliczenie sumy wszystkich wyrazów dodatnich.

Sumę wszystkich wyrazów obliczymy w następujący sposób:

$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n \\

S_{671}=\frac{a_{1}+a_{671}}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{(2016-3\cdot1)+(2016-3\cdot671)}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{2013+3}{2}\cdot671 \\

S_{671}=\frac{2016}{2}\cdot671 \\

S_{671}=1008\cdot671 \\

S_{671}=676368$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016