---
route: /task/matura-sierpie-2016-27
title: Zadanie matura-sierpie-2016-27
source: Matura sierpień 2016
category: Wyrażenia algebraiczne
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2016-27

**Źródło:** Matura sierpień 2016
**Kategoria:** Wyrażenia algebraiczne
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Jeżeli do licznika pewnego nieskracalnego ułamka dodamy \(32\), a mianownik pozostawimy niezmieniony, to otrzymamy liczbę \(2\). Jeżeli natomiast od licznika i od mianownika tego ułamka odejmiemy \(6\), to otrzymamy liczbę \(\frac{8}{17}\). Wyznacz ten ułamek.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{14}{23}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Stworzenie odpowiedniego układu równań.

Jeżeli szukany ułamek zapiszemy jako \(\frac{x}{y}\) to na podstawie danych z treści zadania stworzymy następujący układ równań:

\begin{cases}

\frac{x+32}{y}=2 \\

\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}

\end{cases}

Krok 2. Rozwiązanie układu równań.

Najprościej jest ten układ równań rozwiązać metodą podstawiania. W tym celu musimy z pierwszego równania wyznaczyć np. iksa:

\begin{cases}

\frac{x+32}{y}=2 \quad\bigg/\cdot y \\

\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}

\end{cases}

\begin{cases}

x+32=2y  \quad\bigg/-32 \\

\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}

\end{cases}

\begin{cases}

x=2y-32 \\

\frac{x-6}{y-6}=\frac{8}{17}

\end{cases}

Teraz wyznaczoną z pierwszego równania wartość \(x=2y-32\) podstawiamy do drugiego równania, otrzymując:

$$\frac{2y-32-6}{y-6}=\frac{8}{17} \\

\frac{2y-38}{y-6}=\frac{8}{17}$$

Mnożymy obie strony na krzyż:

$$17\cdot(2y-38)=8\cdot(y-6) \\

34y-646=8y-48 \\

26y=598 \\

y=23$$

Podstawiając \(y=23\) do jednego z dwóch równań zapisanych w pierwszym kroku obliczymy wartość \(x\):

$$\frac{x+32}{y}=2 \\

\frac{x+32}{23}=2 \\

x+32=46 \\

x=14$$

Poszukiwanym ułamkiem jest więc \(\frac{14}{23}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/wyrazenia-algebraiczne
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016