---
route: /task/matura-sierpie-2016-26
title: Zadanie matura-sierpie-2016-26
source: Matura sierpień 2016
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2016-26

**Źródło:** Matura sierpień 2016
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż nierówność \(3x^2-6x\ge (x-2)(x-8)\)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x\in (-\infty ,-4\rangle \cup \langle 2,+\infty )\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Przeniesienie wszystkich wyrazów na lewą stronę.

To bardzo ważny krok o którym często się zapomina. Aby móc rozwiązać taką nierówność kwadratową np. za pomocą metody delty musimy mieć wszystkie wyrazy po lewej stronie, zostawiając po prawej tylko zero. Zatem:

$$3x^2-6x\ge(x-2)(x-8) \\

3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0$$

Krok 2. Obliczenie miejsc zerowych powstałej nierówności.

Aby obliczyć miejsca zerowe musimy albo przedstawić tę nierówność w postaci iloczynowej (wtedy przyrównamy każdy z nawiasów do zera i tak wyznaczymy miejsca zerowe) albo przedstawić tę nierówność w postaci ogólnej typu \(ax^2+bx+c\) i wtedy skorzystamy z metody delty. Z racji tego iż zamiana na postać iloczynową nie jest tak oczywista i łatwa (po różnych przekształceniach dałoby się to zapisać jako \((x-2)(2x+8)\ge0\)), to my skorzystamy z metody delty, zatem:

$$3x^2-6x-(x-2)(x-8)\ge0 \\

3x^2-6x-(x^2-8x-2x+16)\ge0 \\

3x^2-6x-x^2+8x+2x-16\ge0 \\

2x^2+4x-16\ge0$$

Współczynniki: \(a=2,\;b=4,\;c=-16\)

$$Δ=b^2-4ac=4^2-4\cdot2\cdot(-16)=16-(-128)=16+128=144 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{144}=12$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4-12}{2\cdot2}=\frac{-16}{4}=-4 \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-4+12}{2\cdot2}=\frac{8}{4}=2$$

Krok 3. Szkicowanie wykresu paraboli.

Parabola będzie mieć ramiona skierowane do góry, bo współczynnik \(a\) był dodatni. Zaznaczamy miejsca zerowe obliczone przed chwilą (kropki zamalowane, bo w nierówności mamy znak \(\ge\)) i szkicujemy wykres paraboli:

Teraz odczytujemy z wykresu dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości większe lub równe zero. Wyraźnie widzimy, że jest to zbiór \(x\in(-\infty;-4\rangle\cup\langle2;+\infty)\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-71.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016