---
route: /task/matura-sierpie-2016-21
title: Zadanie matura-sierpie-2016-21
source: Matura sierpień 2016
category: Stereometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2016-21

**Źródło:** Matura sierpień 2016
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Podstawą graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat o boku długości \(2\), a przekątna ściany bocznej ma długość \(3\) (zobacz rysunek). Kąt, jaki tworzą przekątne ścian bocznych tego graniastosłupa wychodzące z jednego wierzchołka, ma miarę \(\alpha \). Wtedy wartość \(\sin \frac{\alpha }{2}\) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{2}{3} \)
- **B.** \( \frac{\sqrt{7}}{3} \)
- **C.** \( \frac{\sqrt{7}}{7} \)
- **D.** \( \frac{\sqrt{2}}{3} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=4\sqrt{6}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie długości krawędzi bocznej.

W podstawie graniastosłupa znajduje się kwadrat o boku \(a=2\). Przekątna ściany bocznej ma długość \(\sqrt{10}\). Ściana boczna jest prostokątem o wymiarach \(a=2\) (podstawa kwadratu) oraz \(H\) (wysokość graniastosłupa). Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczymy wysokość:

$$a^2+H^2=(\sqrt{10})^2 \\

2^2+H^2=10 \\

4+H^2=10 \\

H^2=6 \\

H=\sqrt{6}$$

Krok 2. Obliczenie objętości graniastosłupa.

Pole podstawy to pole kwadratu \(P_p=a^2=2^2=4\). Objętość graniastosłupa:

$$V=P_p \cdot H \\

V=4\cdot\sqrt{6} \\

V=4\sqrt{6}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016