---
route: /task/matura-sierpie-2016-09
title: Zadanie matura-sierpie-2016-09
source: Matura sierpień 2016
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2016-09

**Źródło:** Matura sierpień 2016
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\sin \alpha =\frac{4}{5}\). Wtedy wartość wyrażenia \(\sin \alpha -\cos \alpha \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \( \frac{1}{5} \)
- **B.** \( \frac{3}{5} \)
- **C.** \( \frac{17}{25} \)
- **D.** \( \frac{1}{25} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** A

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Obliczenie wartości cosinusa.

W zadaniu skorzystamy z tzw. "jedynki trygonometrycznej" opisanej wzorem \(sin^2α+cos^2α=1\). Do tego wzoru podstawimy sobie wartość sinusa z treści zadania i w ten sposób wyznaczymy wartość cosinusa, zatem:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

\left(\frac{4}{5}\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{16}{25}+cos^2α=1 \\

cos^2α=\frac{9}{25} \\

cosα=\frac{3}{5} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{5}$$

Wartość ujemną odrzucamy, bo cosinus dla kątów ostrych przyjmuje jedynie wartości dodatnie.

Krok 2. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα-cosα\).

Znając wartości sinusa i cosinusa pozostaje nam już tylko obliczenie końcowej wartości wyrażenia:

$$sinα-cosα=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2016