---
route: /task/matura-sierpie-2015-34
title: Zadanie matura-sierpie-2015-34
source: Matura sierpień 2015
category: Funkcja kwadratowa
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-34

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Funkcja kwadratowa
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Zbiorem rozwiązań nierówności \(f(x) \gt 0\) jest przedział \((0,12)\). Największa wartość funkcji \(f\) jest równa \(9\). Oblicz współczynniki \(a\), \(b\) i \(c\) funkcji \(f\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a=-\frac{1}{4}\), \(b=3\), \(c=0\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Musimy się zastanowić jak będzie wyglądać nasza parabola.

Wniosek I - Skoro funkcja przyjmuje wartości dodatnie (\(f(x)\gt0\)) tylko w przedziale \((0;12)\), to musi być to parabola z ramionami skierowanymi do dołu (patrz rysunek). Nie ma innej możliwości.

Wniosek II - Czym jest natomiast przedział \((0;12)\)? Kiedy rozwiązujemy standardową nierówność i podajemy jej rozwiązania, to zawsze na krańcach przedziałów znajdują się tak naprawdę miejsca zerowe (które obliczamy np. z delty albo z postaci iloczynowej). Nie inaczej jest tutaj, zatem z tego przedziału możemy odczytać, że funkcja ta przecina oś \(Ox\) w punktach \(x_{1}=0\) oraz \(x_{2}=12\) (patrz rysunek).

Wniosek III - Jakie współrzędne ma wierzchołek paraboli? Skoro największa wartość funkcji jest równa \(9\), to jedną współrzędną (\(y=9\)) już znamy. Wiemy też, że wierzchołek paraboli znajduje się dokładnie po środku, między miejscami zerowymi. Zatem współrzędne wierzchołka to \(W=(6;9)\).

Krok 2. Zapisanie wzoru funkcji przy użyciu współrzędnych wierzchołka paraboli.

Dzięki trzeciemu wnioskowi z pierwszego kroku jesteśmy w stanie zapisać równanie tej paraboli w postaci kanonicznej. Funkcję o wierzchołku w punkcie \(W=(p;q)\) możemy opisać wzorem:

$$y=a(x-p)^2+q \\

y=a(x-6)^2+9$$

Krok 3. Wyznaczenie współczynnika \(a\).

Wiemy, że parabola przechodzi między innymi przez punkt \((0;0)\), zatem możemy podstawić współrzędne tego punktu do wyznaczonego przed chwilą wzoru i tym samym obliczyć wartość współczynnika \(a\):

$$0=a\cdot(0-6)^2+9 \\

0=a\cdot(-6)^2+9 \\

0=36a+9 \\

36a=-9 \\

a=-\frac{9}{36}=-\frac{1}{4}$$

Krok 4. Sprowadzenie wzoru funkcji do postaci ogólnej.

Podstawiając wyznaczony współczynnik \(a=-\frac{1}{4}\) do wzoru z kroku drugiego, będziemy tak naprawdę znać już pełny wzór naszej funkcji:

$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9$$

To jednak nie koniec, bo zgodnie z treścią zadania musimy przedstawić wzór tej funkcji w postaci ogólnej typu \(f(x)=ax^2+bx+c\) i wypisać poszczególne współczynniki. Zatem:

$$y=-\frac{1}{4}(x-6)^2+9 \\

y=-\frac{1}{4}(x^2-12x+36)+9 \\

y=-\frac{1}{4}x^2+3x-9+9 \\

y=-\frac{1}{4}x^2+3x$$

Poszukiwanymi współczynnikami są więc: \(a=-\frac{1}{4}, b=3, c=0\).

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-135.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/funkcja-kwadratowa
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015