---
route: /task/matura-sierpie-2015-33
title: Zadanie matura-sierpie-2015-33
source: Matura sierpień 2015
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-33

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Podstawą ostrosłupa \(ABCDS\) jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku \(3 : 4\), a pole jest równe \(192\) (zobacz rysunek). Punkt \(E\) jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek \(SE\) jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30^\circ\). Oblicz objętość ostrosłupa.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(V=\frac{640\sqrt{3}}{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Wprowadźmy sobie proste oznaczenia. Skoro stosunek boków prostokąta ma wynosić \(3:4\), to niech bok \(AB=3x\) oraz \(BC=4x\). Przy okazji zaznaczmy na rysunku kluczowy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy. Całość będzie więc wyglądać w następujący sposób:

Krok 2. Wyznaczenie długości odcinków \(AB\) oraz \(BC\).

Skorzystamy tutaj z informacji, że pole prostokąta w podstawie jest równe \(192\). Zatem:

$$3x\cdot4x=192 \\

12x^2=192 \\

x^2=16 \\

x=4$$

Długości odcinków \(AB\) i \(BC\) wynoszą więc:

$$|AB|=3x=3\cdot4=12 \\

|BC|=4x=4\cdot4=16$$

Krok 3. Obliczenie długości odcinka \(AE\).

Do wyznaczenia długości wysokości ostrosłupa przyda nam się znajomość długości odcinka \(AE\). Jest to dokładnie połowa przekątnej \(AC\). Obliczmy więc z Twierdzenia Pitagorasa najpierw długość odcinka \(AC\):

$$|AB|^2+|BC|^2=|AC|^2 \\

12^2+16^2=|AC|^2 \\

144+256=|AC|^2 \\

|AC|^2=400 \\

|AC|=20$$

Tak jak powiedzieliśmy sobie, odcinek \(AE\) jest równy połowie odcinka \(AC\), zatem:

$$|AE|=\frac{1}{2}|AC| \\

|AE|=\frac{1}{2}\cdot20 \\

|AE|=10$$

Krok 4. Wyznaczenie wysokości ostrosłupa.

Spójrzmy na kluczowy trójkąt \(AES\). Skorzystamy tutaj z funkcji trygonometrycznych, a dokładniej z tangensa. Skoro krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(30°\), to:

$$tg30°=\frac{|SE|}{|AE|} \\

\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{|SE|}{10} \\

|SE|=\frac{10\sqrt{3}}{3}$$

Wysokość naszego ostrosłupa jest więc równa \(\frac{10\sqrt{3}}{3}\).

Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc możemy przejść do obliczenia objętości bryły:

$$P_{p}=192 \\

H=\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

\\

V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

V=\frac{1}{3}\cdot192\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

V=64\cdot\frac{10\sqrt{3}}{3} \\

V=\frac{640\sqrt{3}}{3}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-134.png)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-134a.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015