---
route: /task/matura-sierpie-2015-31
title: Zadanie matura-sierpie-2015-31
source: Matura sierpień 2015
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-31

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W prostokącie \(ABCD\) punkt \(P\) jest środkiem boku \(BC\), a punkt \(R\) jest środkiem boku \(CD\). Wykaż, że pole trójkąta \(APR\) jest równe sumie pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Oznaczmy sobie na rysunku poszczególne długości odcinków:

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-132.png)

Krok 2. Obliczenie pól trójkątów \(ADR\), \(PCR\) oraz \(ABP\), a także prostokąta \(ABCD\).

$$P_{ADR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot b=\frac{1}{4}ab \\

P_{PCR}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{8}ab \\

P_{ABP}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot\frac{1}{2}b=\frac{1}{4}ab \\

P_{ABCD}=ab$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(APR\).

Pole trójkąta \(APR\) obliczymy odejmując od pola prostokąta pola trzech trójkątów, zatem:

$$P_{APR}=P_{ABCD}-P_{ADR}-P_{PCR}-P_{ABP} \\

P_{APR}=ab-\frac{1}{4}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{1}{4}ab \\

P_{APR}=ab-\frac{2}{8}ab-\frac{1}{8}ab-\frac{2}{8}ab \\

P_{APR}=ab-\frac{5}{8}ab \\

P_{APR}=\frac{3}{8}ab$$

Krok 4. Zakończenie dowodzenia.

Suma pól trójkątów \(ADR\) oraz \(PCR\) jest równa:

$$P_{ADR}+P_{PCR}=\frac{1}{4}ab+\frac{1}{8}ab=\frac{3}{8}ab$$

Otrzymany wynik jest dokładnie taki sam jak wyznaczone pole trójkąta \(APR\) w trzecim kroku, a to kończy nasz dowód.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015