---
route: /task/matura-sierpie-2015-30
title: Zadanie matura-sierpie-2015-30
source: Matura sierpień 2015
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-30

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że dla wszystkich nieujemnych liczb rzeczywistych \(x\), \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x^3 + y^3 \ge x^2y + xy^2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Na samym początku przenieśmy wszystkie wyrazy na lewą stronę:

$$x^3+y^3\ge x^2y+xy^2 \\

x^3-x^2y-xy^2+y^3\ge0$$

Teraz spróbujmy wyłączyć przed nawias odpowiednio \(x^2\) oraz \(y^2\):

$$x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge0 \\

(x^2-y^2)(x-y)\ge0$$

Ze wzorów skróconego mnożenia wiemy, że \(x^2-y^2=(x+y)(x-y)\), zatem:

$$(x+y)(x-y)(x-y)\ge0 \\

(x+y)(x-y)^2\ge0$$

Skoro \(x\) oraz \(y\) są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, to wartość w pierwszym nawiasie jest na pewno dodatnia lub równa zero. W drugim nawiasie niezależnie od tego czy liczba w nawiasie jest dodatnia czy ujemna, to po podniesieniu jej do potęgi drugiej wynik będzie dodatni lub równy zero. Mamy więc iloczyn dwóch liczb nieujemnych, a ten jest na pewno większy lub równy zero, co należało udowodnić.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015