---
route: /task/matura-sierpie-2015-29
title: Zadanie matura-sierpie-2015-29
source: Matura sierpień 2015
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-29

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \(\alpha \) jest ostry i spełnia równość \(\operatorname{tg} \alpha +\frac{1}{\operatorname{tg} \alpha }=\frac{7}{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha \cdot \cos \alpha \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2}{7}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Pamiętając o tym, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) możemy całość rozpisać w następujący sposób:

$$tgα+\frac{1}{tgα}=\frac{7}{2} \\

tgα+1:tgα=\frac{7}{2} \\

\frac{sinα}{cosα}+1:\frac{sinα}{cosα}=\frac{7}{2} \\

\frac{sinα}{cosα}+1\cdot\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2} \\

\frac{sinα}{cosα}+\frac{cosα}{sinα}=\frac{7}{2}$$

Sprowadzamy teraz ułamki do wspólnego mianownika, by móc je do siebie dodać:

$$\frac{sinα\cdot sinα}{cosα\cdot sinα}+\frac{cosα\cdot cosα}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\

\frac{sin^2α}{cosα\cdot sinα}+\frac{cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\

\frac{sin^2α+cos^2α}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2}$$

Z jedynki trygonometrycznej wiemy, że \(sin^2α+cos^2α=1\), zatem:

$$\frac{1}{sinα\cdot cosα}=\frac{7}{2} \\

1=\frac{7}{2}\cdot sinα\cdot cosα \quad\bigg/\cdot\frac{2}{7} \\

sinα\cdot cosα=\frac{2}{7}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015