---
route: /task/matura-sierpie-2015-26
title: Zadanie matura-sierpie-2015-26
source: Matura sierpień 2015
category: Równania i nierówności
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2015-26

**Źródło:** Matura sierpień 2015
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Rozwiąż równanie \(\frac{2x-4}{x}=\frac{x}{2x-4}\), gdzie \(x\ne 0\) i \(x\ne 2\).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(x=\frac{4}{3}\) lub \(x=4\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wymnożenie na krzyż poszczególnych wartości.

Rozwiązywanie równania najprościej jest chyba zacząć od mnożenia na krzyż, choć jeśli wolimy to możemy standardowo wymnożyć obie strony najpierw przez \(x\), a potem przez \(2x-4\). Finalnie dojdziemy do tego samego:

$$(2x-4)\cdot(2x-4)=x\cdot x \\

(2x-4)^2=x^2 \\

4x^2-16x+16=x^2 \\

3x^2-16x+16=0$$

Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Współczynniki: \(a=3,\;b=-16,\;c=16\)

$$Δ=b^2-4ac=(-16)^2-4\cdot3\cdot16=256-192=64 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{64}=8$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)-8}{2\cdot3}=\frac{16-8}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \\

x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-16)+8}{2\cdot3}=\frac{16+8}{6}=\frac{24}{6}=4$$

Z racji tego, iż żadne z rozwiązań nie wyklucza się z założeniami z treści zadania, to obydwa są poprawne. To równanie ma więc dwa rozwiązania: \(x=\frac{4}{3}\) oraz \(x=4\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2015