---
route: /task/matura-sierpie-2014-32
title: Zadanie matura-sierpie-2014-32
source: Matura sierpień 2014
category: Równania i nierówności
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-32

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Równania i nierówności
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Miasta \( A \) i \( B \) są oddalone o \( 450 \) km. Pani Danuta pokonała tę trasę swym samochodem w czasie o \( 75 \) minut dłuższym niż pani Lidia. Wartość średniej prędkości, z jaką jechała pani Danuta na całej trasie, była o \( 18 \) km/h mniejsza od wartości średniej prędkości, z jaką jechała pani Lidia. Oblicz średnie wartości: prędkości, z jaką pani Danuta jechała z \(A\) do \(B\) prędkości, z jaką pani Lidia jechała z \(A\) do \(B\)

**Prawidłowa odpowiedź:** \(v_D=72\) km/h, \(v_L=90\) km/h

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.

\(v\) - prędkość Pani Lidii

\(t\) - czas Pani Lidii

\(s=450\) - odległość między miastami

\(v-18\) - prędkość Pani Danuty

\(t+\frac{5}{4}\) - czas Pani Danuty

Dlaczego czas Pani Danuty to \(t+\frac{5}{4}\)? Pani Danuta jechała dłużej o \(75\) minut. Nam jednostka jaką są minuty nie pasuje, bo prędkość obliczamy w \(\frac{km}{h}\). Musimy więc te minuty zamienić na godziny:

$$75\text{ min. }=\frac{75}{60}\text{ godz. }=\frac{5}{4}\text{ godz. }$$

Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.

Skorzystamy tutaj ze standardowego wzoru:

$$v=\frac{s}{t} \Rightarrow s=vt$$

Na podstawie tego wzoru układamy dwa równania - pierwsze dla Pani Lidii, drugie dla Pani Danuty.

\begin{cases}

450=vt \\

450=(v-18)(t+\frac{5}{4})

\end{cases}

Podstawiając z pierwszego równania \(t=\frac{450}{v}\) otrzymamy:

$$\require{cancel}

450=(v-18)\left(\frac{450}{v}+\frac{5}{4}\right) \\

\cancel{450}=\cancel{450}+\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5 \\

\frac{5}{4}v-\frac{8100}{v}-22,5=0 \quad\bigg/\cdot v \\

\frac{5}{4}v^2-22,5v-8100=0 \quad\bigg/\cdot\frac{4}{5} \\

v^2-18v-6480=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Skorzystamy tutaj z metody delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-18,\;c=-6480\)

$$Δ=b^2-4ac=(-18)^2-4\cdot1\cdot(-6480)=324-(-25920)=324+25920=26244 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{26244}=162$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)-162}{2\cdot1}=\frac{18-162}{2}=\frac{-144}{2}=-72 \\

v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-18)+162}{2\cdot1}=\frac{18+162}{2}=\frac{180}{2}=90$$

Krok 4. Obliczenie średnich wartości prędkości Pani Lidii i Danuty.

Z równania kwadratowego otrzymaliśmy dwa rozwiązania, ale wartość ujemną oczywiście odrzucamy, tak więc wyszło nam, że prędkość jazdy Pani Lidii to \(90\frac{km}{h}\).

W związku z tym prękość jazdy Pani Danuty wynosi:

$$90\frac{km}{h}-18\frac{km}{h}=72\frac{km}{h}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/rownania-i-nierownosci
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014