---
route: /task/matura-sierpie-2014-31
title: Zadanie matura-sierpie-2014-31
source: Matura sierpień 2014
category: Ciągi
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-31

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Ciągi
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_n) \) określony dla \( n\ge 1 \), w którym \( a_5=22 \) oraz \( a_{10}=47 \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) i różnicę \( r \) tego ciągu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(a_1=2\), \(r=5\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Rozpisanie wzorów na piąty i dziesiąty wyraz ciągu.

Ze wzoru \(a_{n}=a_{1}+(n-1)r\) możemy zapisać, że:

$$a_{5}=a_{1}+(5-1)r \\

a_{5}=a_{1}+4r \\

\\

a_{10}=a_{1}+(10-1)r \\

a_{10}=a_{1}+9r$$

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań oraz wyznaczenie wartości różnicy ciągu.

Zgodnie z treścią zadania:

\begin{cases}

a_{1}+4r=22 \\

a_{1}+9r=47

\end{cases}

Ten układ równań możemy rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie po prostu zastosować tutaj odejmowanie stronami, dzięki czemu otrzymamy:

$$4r-9r=22-47 \\

-5r=-25 \\

r=5$$

Krok 3. Wyznaczenie wartości pierwszego wyrazu.

Podstawiając wyznaczoną przed chwilą różnicę ciągu do wzoru na piąty wyraz ciągu, wyznaczymy wartość pierwszego wyrazu.

$$a_{5}=a_{1}+4r \\

22=a_{1}+4\cdot5 \\

22=a_{1}+20 \\

a_{1}=2$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/ciagi
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014