---
route: /task/matura-sierpie-2014-30
title: Zadanie matura-sierpie-2014-30
source: Matura sierpień 2014
category: Geometria analityczna
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-30

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dany jest trójkąt \( ABC \), w którym \( |AC|>|BC| \). Na bokach \( AC \) i \( BC \) tego trójkąta obrano odpowiednio punkty \( D \) i \( E \), że zachodzi równość \( |CD|=|CE|\ \). Proste \( AB \) i \( DE \) przecinają się w punkcie \( F \) (zobacz rysunek). Wykaż, że \( |\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot |\sphericalangle AFD| \).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego i wprowadzenie oznaczeń.

Spójrzmy na trójkąt \(DEC\). Jest on na pewno równoramienny, co wynika bezpośrednio z treści zadania. Jeśli więc oznaczymy sobie \(|\sphericalangle CDE|=α\), to także \(|\sphericalangle DEC|=α\)

Z własności kątów wierzchołkowych wynika, że w takim razie także \(|\sphericalangle BEF|=α\).

Dodatkowo oznaczmy sobie miarę kąta \(\sphericalangle EBF=β\).

Krok 2. Wyznaczenie wartości kątów \(ACB\), \(ABC\), \(BAC\) oraz \(AFD\).

Korzystając z wiedzy, że w każdym z trójkątów suma miar jest równa \(180°\) możemy zapisać, że:

\(|\sphericalangle ACB|=180°-2α\\

|\sphericalangle ABC|=180°-β \text{ (kąty przyległe)}\\

|\sphericalangle BAC|=180°-|\sphericalangle ACB|-|\sphericalangle ABC|=\\

=180°-(180°-2α)-(180°-β)=\\

=180°-180°+2α-180°+β=-180°+2α+β \\

|\sphericalangle AFD|=180°-α-β\)

Krok 3. Udowodnienie zależności podanej w treści zadania.

W drugim kroku obliczyliśmy sobie wartości każdego z potrzebnych kątów, zatem podstawmy te dane do równania z treści zadania i sprawdźmy, czy jest ono rzeczywiście prawdziwe.

$$|\sphericalangle BAC|=|\sphericalangle ABC|-2\cdot|\sphericalangle AFD| \\

-180°+2α+β=180°-β-2\cdot(180°-α-β) \\

-180°+2α+β=180°-β-(360°-2α-2β) \\

-180°+2α+β=180°-β-360°+2α+2β \\

-180°+2α+β=-180°+2α+β \\

L=P$$

Równość jest prawdziwa, co kończy nasz dowód.

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-119.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014