---
route: /task/matura-sierpie-2014-29
title: Zadanie matura-sierpie-2014-29
source: Matura sierpień 2014
category: Trygonometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-29

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Kąt \( \alpha \) jest ostry oraz \( \frac{4}{\sin^2\!{\alpha }}+\frac{4}{\cos^2\!{\alpha }}=25 \). Oblicz wartość wyrażenia \( \sin{\alpha }\cdot \cos{\alpha } \).

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{2}{5}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika i dodanie do siebie tych dwóch wyrażeń.

Aby dodać do siebie te dwa ułamki musimy je najpierw sprowadzić do wspólnego mianownika. Zrobimy to w następujący sposób:

$$\frac{4}{sin^2α}+\frac{4}{cos^2α}=25 \\

\frac{4\cdot cos^2α}{sin^2α\cdot cos^2α}+\frac{4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25 \\

\frac{4\cdot cos^2α+4\cdot sin^2α}{cos^2α\cdot sin^2α}=25$$

Krok 2. Wyznaczenie wartości wyrażenia \(sinα\cdot cosα\).

Spróbujmy z licznika wyłączyć czwórkę przed nawias, dzięki czemu w nawiasie otrzymamy jedynkę trygonometryczną. W mianowniku za to warto wyłączyć przed nawias potęgowanie, co sprawi że otrzymamy w nawiasie dokładnie to wyrażenie, którego wartości poszukujemy. Zatem:

$$\frac{4\cdot(cos^2α+sin^2α)}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\

\frac{4\cdot1}{(cosα\cdot sinα)^2}=25 \\

4=25\cdot(cosα\cdot sinα)^2 \\

(cosα\cdot sinα)^2=\frac{4}{25} \\

cosα\cdot sinα=\sqrt{\frac{4}{25}} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\sqrt{\frac{4}{25}} \\

cosα\cdot sinα=\frac{2}{5} \quad\lor\quad cosα\cdot sinα=-\frac{2}{5}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo dla kątów ostrych sinus i cosinus przyjmują wartości dodatnie. Zatem jedynym prawidłowym rozwiązaniem będzie \(cosα\cdot sinα=\frac{2}{5}\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014