---
route: /task/matura-sierpie-2014-28
title: Zadanie matura-sierpie-2014-28
source: Matura sierpień 2014
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-28

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Wykaż, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych parzystych jest podzielna przez \( 24 \).

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie liczb naturalnych parzystych za pomocą wyrażeń algebraicznych.

Każdą liczbę naturalną możemy zapisać jako \(n\).

Każdą liczbę naturalną parzystą możemy zapisać jako \(2n\).

W związku z tym trzema kolejnymi liczbami naturalnymi będą:

$$2n;\quad2n+2;\quad2n+4$$

Krok 2. Obliczenie sześcianu każdej z kolejnych liczb.

Skorzystamy tutaj (i to dwukrotnie) ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy liczb:

$$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$$

Zgodnie z treścią zadania każda liczba musi być podniesiona do potęgi trzeciej, zatem:

$$(2n)^3=8n^3 \\

\\

(2n+2)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot2+3\cdot2n\cdot2^2+2^3= \\

=8n^3+24n^2+24n+8 \\

\\

(2n+4)^3=(2n)^3+3\cdot(2n)^2\cdot4+3\cdot2n\cdot4^2+4^3= \\

=8n^3+48n^2+96n+64$$

Krok 3. Zsumowanie trzech wyników i wyłączenie całości przed nawias.

Suma tych wszystkich trzech wyrażeń będzie więc równa:

$$8n^3+8n^3+24n^2+24n+8+8n^3+48n^2+96n+64= \\

=24n^3+72n^2+120n+72= \\

=24(n^3+3n^2+5n+3)$$

Wyłączając przed nawias liczbę \(24\) udowodniliśmy, że suma tych trzech liczb jest podzielna przez \(24\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014