---
route: /task/matura-sierpie-2014-20
title: Zadanie matura-sierpie-2014-20
source: Matura sierpień 2014
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-20

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Punkt \( P=(-1,0) \) leży na okręgu o promieniu \( 3 \). Równanie tego okręgu może mieć postać

## Odpowiedzi

- **A.** \((x+1)^2+y^2=9 \)
- **B.** \(x^2+\left ( y-\sqrt{2} \right )^2=3 \)
- **C.** \((x+1)^2+(y+3)^2=9 \)
- **D.** \((x+1)^2+y^2=3 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Zapisanie ogólnego wzoru na równanie okręgu i podstawienie poprawnych danych z treści zadania.

Równanie okręgu o środku \(S=(a;b)\) oraz promieniu równym \(r\) przyjmuje postać:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$$

I tu jest pierwsza pułapka, bo odruchowo wiele osób chce podstawić do tego równania współrzędne punktu \(P\), przez co otrzymamy równanie zawarte w pierwszej odpowiedzi. Wszystko byłoby w porządku, gdyby punkt \(P\) był środkiem okręgu, ale nie jest. Zawsze wczytujmy się uważnie w treść zadania!

To co nam na razie pasuje do tego równania to długość promienia, która jest równa \(r=3\). Zatem to równanie na pewno przyjmuje postać:

$$(x-a)^2+(y-b)^2=3^2 \\

(x-a)^2+(y-b)^2=9$$

To oznacza, że rozpatrujemy już tylko dwie możliwości: \(A\) oraz \(C\).

Krok 2. Sprawdzenie, które równanie zawiera punkt \(P=(-1;0)\).

Pod równania z odpowiedzi \(A\) i \(C\) podstawiamy współrzędne punktu \(P\) i sprawdzamy, kiedy równość jest poprawna.

Odp. A.:

$$(x+1)^2+y^2=9 \\

(-1+1)^2+0^2=9 \\

0^2+0^2=9 \\

0=9 \\

L\neq P$$

Odp. C.:

$$(x+1)^2+(y+3)^2=9 \\

(-1+1)^2+(0+3)^2=9 \\

0^2+3^2=9 \\

0+9=9 \\

9=9 \\

L=P$$

To oznacza, że prawidłowe jest równanie z trzeciej odpowiedzi.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014