---
route: /task/matura-sierpie-2014-18
title: Zadanie matura-sierpie-2014-18
source: Matura sierpień 2014
category: Geometria analityczna
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-18

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Geometria analityczna
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Odcinki \( BC \) i \( DE \) są równoległe i \( |AE|=4 \), \( |DE|=3 \) (zobacz rysunek). Punkt \( D \) jest środkiem odcinka \( AB \). Długość odcinka \( BC \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(4 \)
- **B.** \(6 \)
- **C.** \(8 \)
- **D.** \(16 \)

**Prawidłowa odpowiedź:** B

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Ustalenie długości odcinków \(EC\) oraz \(AC\).

Z treści zadania wynika, że \(|AD|=|DB|\), bo punkt \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Skoro przez ten punkt \(D\) jest poprowadzona prosta równoległa do boku \(BC\), to podobna prawidłowość zajdzie także na odcinku \(AC\), gdzie punkt \(E\) jest w takim razie także środkiem tego odcinka. W związku z tym \(|AE|=|EC|=4\).

Znając długość odcinka \(EC\) możemy obliczyć miarę odcinka \(AC\):

$$|AC|=|AE|+|EC|=4+4=8$$

Krok 2. Ułożenie odpowiedniego równania i wyznaczenie długości odcinka \(BC\).

Trójkąty \(ADE\) oraz \(ABC\) są trójkątami podobnymi. Skąd to wiemy? Wynika to z cechy kąt-kąt-kąt, bo obydwa trójkąty mają wspólny kąt \(CAB\) oraz wiemy że \(|\sphericalangle ADE|=|\sphericalangle ABC|\), gdyż są to tak naprawdę kąty odpowiadające.

Skoro tak, to możemy ułożyć następujące równanie:

$$\frac{|DE|}{|AE|}=\frac{|BC|}{|AC|} \\

\frac{3}{4}=\frac{|BC|}{8} \quad\bigg/\cdot8 \\

|BC|=\frac{24}{4} \\

|BC|=6$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/geometria-analityczna
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014