---
route: /task/matura-sierpie-2014-15
title: Zadanie matura-sierpie-2014-15
source: Matura sierpień 2014
category: Trygonometria
points: 1
type: closed
---

# Zadanie matura-sierpie-2014-15

**Źródło:** Matura sierpień 2014
**Kategoria:** Trygonometria
**Punkty:** 1
**Typ:** zamknięte

## Treść zadania

Kąt \( \alpha \) jest ostry i spełniona jest równość \( 3\operatorname{tg}\alpha =2 \). Wtedy wartość wyrażenia \( \sin \alpha+\cos \alpha \) jest równa

## Odpowiedzi

- **A.** \(1 \)
- **B.** \(\frac{5\sqrt{13}}{26} \)
- **C.** \(\frac{5\sqrt{13}}{13} \)
- **D.** \(\sqrt{5} \)

**Prawidłowa odpowiedź:** C

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2014-15.png]

Krok 2. Wyznaczenie wzoru na \(sinα\).

Pamiętając, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\), możemy dokonać przekształcenia i spróbować wyznaczyć wzór na sinusa, który później podstawimy do jedynki trygonometrycznej.

$$3tgα=2 \\

tgα=\frac{2}{3} \\

\frac{sinα}{cosα}=\frac{2}{3} \quad\bigg/\cdot cosα \\

sinα=\frac{2}{3}cosα$$

Krok 3. Wyznaczenie dokładnej wartości \(cosα\).

Korzystając z jedynki trygonometrycznej i podstawiając równanie wyznaczone w pierwszym kroku możemy obliczyć dokładną wartość cosinusa:

$$sin^2α+cos^2α=1 \\

\left(\frac{2}{3}cosα\right)^2+cos^2α=1 \\

\frac{4}{9}cos^2α+cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot9 \\

4cos^2α+9cos^2α=9 \\

13cos^2α=9 \\

cos^2α=\frac{9}{13} \\

cosα=\sqrt{\frac{9}{13}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{9}{13}} \\

cosα=\frac{3}{\sqrt{13}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{3}{\sqrt{13}}$$

Z racji tego iż kąt \(α\) jest ostry, to ujemne rozwiązanie odrzucamy. Pozostaje nam więc \(cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}\). W tym zapisie możemy jeszcze usunąć niewymierność z mianownika, zatem:

$$cosα=\frac{3}{\sqrt{13}}=\frac{3\cdot\sqrt{13}}{\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$$

Krok 4. Obliczenie wartości \(sinα\).

$$\require{cancel}

sinα=\frac{2}{3}cosα \\

sinα=\frac{2}{\cancel{3}}\cdot\frac{\cancel{3}\sqrt{13}}{13} \\

sinα=\frac{2\sqrt{13}}{13}$$

Krok 5. Obliczenie wartości wyrażenia \(sinα+cosα\).

Znając wartości sinusa i cosinusa bez problemu obliczymy poszukiwaną wartość naszego wyrażenia:

$$sinα+cosα=\frac{2\sqrt{13}}{13}+\frac{3\sqrt{13}}{13}=\frac{5\sqrt{13}}{13}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/trygonometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2014