---
route: /task/matura-sierpie-2013-34
title: Zadanie matura-sierpie-2013-34
source: Matura sierpień 2013
category: Stereometria
points: 4
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-34

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 4
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego \(ABCS\) (tak jak na rysunku) jest równa \(72\), a promień okręgu wpisanego w podstawę \(ABC\) tego ostrosłupa jest równy \(2\). Oblicz tangens kąta między wysokością tego ostrosłupa i jego ścianą boczną.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\operatorname{tg} \alpha =\frac{\sqrt{3}}{9}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.

Dorysujmy sobie wysokość ściany bocznej, oznaczmy kąt którego tangensa musimy obliczyć. Przyjmijmy też, że krawędź podstawy jest równa \(a\):

Musimy obliczyć tangens między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną, czyli:

$$tgα=\frac{|OD|}{|SO|}$$

Długość odcinka \(OD\) jest nam znana, bo jest to długość promienia okręgu, czyli \(|OD|=r=2\). Potrzebujemy jeszcze wyznaczyć wysokość całego ostrosłupa i dopiero wtedy będziemy mogli obliczyć wartość tego tangensa.

Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi podstawy.

Aby wyznaczyć wysokość ostrosłupa musimy najpierw policzyć pole podstawy, bowiem znając pole podstawy i objętość bryły (a ta jest podana w treści zadania) bez problemu obliczymy poszukiwaną wysokość ostrosłupa. Do obliczenia pola podstawy brakuje nam tak naprawdę znajomości długości krawędzi trójkąta równobocznego, który znajduje się w podstawie i to właśnie tą długość teraz wyznaczymy (wiemy, że jest to trójkąt równoboczny, bo jest to ostrosłup prawidłowy trójkątny).

Punktem wyjścia będzie promień okręgu wpisanego w podstawę (którego długość znamy, bo \(r=2\)), który stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości tego trójkąta. Skoro jest to trójkąt równoboczny to wzór na jego wysokość możemy zapisać jako \(h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\), zatem:

$$r=\frac{1}{3}\cdot h\\

r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} \\

2=\frac{a\sqrt{3}}{6} \\

a\sqrt{3}=12 \\

a=\frac{12}{\sqrt{3}}=\frac{12\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{12\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola podstawy.

Znając długość krawędzi możemy bez przeszkód obliczyć pole podstawy:

$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{(4\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=\frac{16\cdot3\cdot\sqrt{3}}{4} \\

P_{p}=12\sqrt{3}$$

Krok 4. Obliczenie wysokości ostrosłupa.

Zgodnie z tym co opisaliśmy sobie wcześniej - wysokość ostrosłupa wyznaczymy ze wzoru na objętość:

$$V=\frac{1}{3}P_{p}\cdot H \\

72=\frac{1}{3}\cdot12\sqrt{3}\cdot H \\

72=4\sqrt{3}\cdot H \\

H=\frac{72}{4\sqrt{3}} \\

H=\frac{18}{\sqrt{3}}=\frac{18\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3}=6\sqrt{3}$$

Krok 5. Oblicznie wartości tangensa.

Znamy już wszystkie potrzebne miary, możemy więc wyznaczyć wartość tangensa między wysokością ostrosłupa i jego ścianą boczną:

$$|OD|=r=2 \\

|SO|=H=6\sqrt{3} \\

\text{więc} \\

tgα=\frac{|OD|}{|SO|} \\

tgα=\frac{2}{6\sqrt{3}}=\frac{2\cdot\sqrt{3}}{6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{18}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-110.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013