---
route: /task/matura-sierpie-2013-32
title: Zadanie matura-sierpie-2013-32
source: Matura sierpień 2013
category: Planimetria
points: 5
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-32

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Planimetria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Dane są dwie prostokątne działki. Działka pierwsza ma powierzchnię równą \(6000\) m 2 . Działka druga ma wymiary większe od wymiarów pierwszej działki o \(10\) m i \(15\) m oraz powierzchnię większą o \(2250\) m 2 . Oblicz wymiary pierwszej działki.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(40\times 150\) lub \(100\times 60\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2013-32.png]

Krok 2. Wypisanie informacji z treści zadania i ułożenie układu równań.

\(s\) - szerokość pierwszej działki

\(d\) - długość pierwszej działki

\(s+10\) - szerokość drugiej działki

\(d+15\) - długość drugiej działki

Skoro pole prostokąta to P=ab, to dla dwóch działek możemy ułożyć następujący układ równań:

\begin{cases}

s\cdot d=6000 \\

(s+10)\cdot(d+15)=6000+2250

\end{cases}

Krok 3. Rozwiązanie powstałego układu równań.

Wymnóżmy najpierw poszczególne nawiasy w drugim równaniu, otrzymując wtedy:

\begin{cases}

s\cdot d=6000 \\

sd+15s+10d+150=8250

\end{cases}

Zgodnie z pierwszym równaniem możemy podstawić do drugiego równania \(sd=6000\) oraz \(s=\frac{6000}{d}\), zatem:

$$6000+15\cdot\frac{6000}{d}+10d+150=8250 \\

\frac{90000}{d}+10d-2100=0 \quad\bigg/\cdot d \\

10d^2-2100d+90000=0 \quad\bigg/:10 \\

d^2-210d+9000=0$$

Wykonanie ostatniego dzielenia przez \(10\) nie jest konieczne, ale dzięki temu będziemy operować na mniejszych liczbach.

Krok 4. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.

Skorzystamy tutaj z metody delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-210,\;c=9000\)

$$Δ=b^2-4ac=(-210)^2-4\cdot1\cdot9000=44100-36000=8100 \\

\sqrt{Δ}=\sqrt{8100}=90$$

$$d_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)-90}{2\cdot1}=\frac{210-90}{2}=\frac{120}{2}=60 \\

d_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-210)+90}{2\cdot1}=\frac{210+90}{2}=\frac{300}{2}=150$$

Krok 5. Wyznaczenie wymiarów działki.

Otrzymaliśmy dwa wyniki i żadnego z nich nie możemy wykluczyć. To oznacza, że to zadanie będzie miało dwa rozwiązania.

Jeśli długość działki jest równa \(d=60\), to szerokość wynosi:

$$s=\frac{6000}{d} \\

s=\frac{6000}{60} \\

s=100$$

Jeśli długość działki wynosi \(d=150\), to jej szerokością będzie:

$$s=\frac{6000}{150} \\

s=40$$

Pierwsza działka ma wymiary \(60m\times100m\) lub \(150m\times40m\).

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013