---
route: /task/matura-sierpie-2013-31
title: Zadanie matura-sierpie-2013-31
source: Matura sierpień 2013
category: Stereometria
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-31

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Długość krawędzi sześcianu jest o \(2\) krótsza od długości jego przekątnej. Oblicz długość przekątnej tego sześcianu.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(3+\sqrt{3}\)

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-sierpie-2013-31.png]

Oznaczamy krawędź sześcianu jako \( a \), przekątną jako \( d = a\sqrt{3} \).

Z treści: \( a = d - 2 \). Podstawiamy:

$$ d = (d - 2)\sqrt{3} = d\sqrt{3} - 2\sqrt{3} $$

$$ d - d\sqrt{3} = -2\sqrt{3} $$

$$ d(1 - \sqrt{3}) = -2\sqrt{3} $$

$$ d = \frac{-2\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{-2\sqrt{3}(1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3})(1 + \sqrt{3})} = \frac{-2\sqrt{3} - 6}{-2} = 3 + \sqrt{3} $$

Sprawdzenie: \( a = 1 + \sqrt{3} \), \( a\sqrt{3} = \sqrt{3} + 3 = d \) - zgadza się.

**Odpowiedź:** \( 3 + \sqrt{3} \)

![rysunek](https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions/matura-108.png)

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013