---
route: /task/matura-sierpie-2013-30
title: Zadanie matura-sierpie-2013-30
source: Matura sierpień 2013
category: Liczby rzeczywiste
points: 2
type: open
---

# Zadanie matura-sierpie-2013-30

**Źródło:** Matura sierpień 2013
**Kategoria:** Liczby rzeczywiste
**Punkty:** 2
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

Uzasadnij, że jeżeli \(a\) jest liczbą rzeczywistą różną od zera i \(a+\frac{1}{a}=3\) , to \(a^2+\frac{1}{a^2}=7\)

**Prawidłowa odpowiedź:** Dowód w rozwiązaniu

## Wzór

Formuła 2015

## Rozwiązanie

To zadanie najprościej jest podnosząc do kwadratu obie strony pierwszej równości:

$$a+\frac{1}{a}=3 \quad\bigg/^{2} \\

\left(a+\frac{1}{a}\right)^2=3^2 \\

a^2+2\cdot a\cdot\frac{1}{a}+\left(\frac{1}{a}\right)^2=9 \\

a^2+2+\frac{1}{a^2}=9 \\

a^2+\frac{1}{a^2}=7$$

W ten sposób udało nam się udowodnić tezę zawartą w treści zadania.

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/liczby-rzeczywiste
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/matura-sierpien-2013